▷ बाइनरी, दशमलव, अष्टाधारी और हेक्साडेसिमल प्रणाली क्या है और यह कैसे काम करती है

यदि आप कंप्यूटर साइंस, इलेक्ट्रॉनिक्स या इंजीनियरिंग की किसी भी शाखा के छात्र हैं, तो आपको जिन चीजों के बारे में पता होना चाहिए उनमें से एक नंबर सिस्टम रूपांतरण करना है। कंप्यूटिंग में, उपयोग की जाने वाली नंबरिंग प्रणालियां पारंपरिक रूप से जो हम जानते हैं, उससे भिन्न होती हैं, जैसा कि हमारी दशमलव प्रणाली है। यही कारण है कि, बहुत संभव है, अगर हम कंप्यूटिंग, प्रोग्रामिंग और समान प्रौद्योगिकी दोनों के क्षेत्र में खुद को समर्पित करते हैं, तो हमें सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली प्रणालियों को जानना होगा और एक सिस्टम से दूसरे सिस्टम में कैसे बदलना है, यह जानना होगा।

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नंबरिंग सिस्टम रूपांतरण कैसे करें

दशमलव को द्विआधारी रूपांतरण प्रणाली और इसके विपरीत जानने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि यह एक नंबरिंग प्रणाली है जिसके साथ कंप्यूटर के घटक सीधे काम करते हैं। लेकिन हेक्साडेसिमल प्रणाली को जानना भी बहुत उपयोगी है, क्योंकि इसका उपयोग रंग कोड, कुंजी और हमारी टीम से बड़ी संख्या में कोड का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

नंबरिंग सिस्टम

एक संख्या प्रणाली में प्रतीकों और नियमों के एक सेट का प्रतिनिधित्व होता है जो हमें मान्य संख्याओं का निर्माण करने की अनुमति देते हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें बंधे प्रतीकों की एक श्रृंखला का उपयोग करना शामिल है, जिसके साथ किसी भी सीमा के बिना अन्य संख्यात्मक मूल्यों को बनाना संभव होगा।

परिभाषाओं के गणितीय संदर्भ में बहुत दूर जाने के बिना, मनुष्यों और मशीनों द्वारा उपयोग की जाने वाली प्रणालियाँ निम्नलिखित होंगी:

दशमलव प्रणाली

यह एक स्थितिगत संख्या प्रणाली है जिसमें संख्याओं को अंक दस के अंकगणितीय आधार द्वारा दर्शाया जाता है।

जैसा कि आधार संख्या दस है, हमारे पास दस संख्याओं का उपयोग करके सभी आंकड़े बनाने की क्षमता होगी जो हम सभी जानते हैं। 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 । इन नंबरों का उपयोग किसी भी संख्या के गठन में 10 की शक्तियों की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाएगा।

इसलिए, हम इस संख्या प्रणाली में निम्नलिखित तरीके से एक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

हम देखते हैं कि एक दशमलव संख्या प्रत्येक मान का योग है जो आधार १ से स्थिति -१ तक बढ़ा है जो कि प्रत्येक पद पर है। हम अन्य संख्या प्रणालियों में रूपांतरण के लिए इसे ध्यान में रखेंगे।

बाइनरी सिस्टम

बाइनरी सिस्टम एक नंबरिंग प्रणाली है जिसमें अंकगणितीय आधार 2 का उपयोग किया जाता है। यह प्रणाली कंप्यूटर और डिजिटल सिस्टम द्वारा आंतरिक रूप से बिल्कुल सभी प्रक्रियाओं को पूरा करने के लिए उपयोग किया जाता है।

यह संख्या प्रणाली केवल दो अंकों, 0 और 1 द्वारा दर्शायी जाती है, यही कारण है कि यह 2 (दो अंक) पर आधारित है। इसके साथ सभी मूल्य श्रृंखलाएं बनाई जाएंगी।

अष्टक प्रणाली

पिछली व्याख्याओं के साथ, हम पहले से ही कल्पना कर सकते हैं कि यह अष्टक प्रणाली के बारे में क्या है। ऑक्टल सिस्टम नंबरिंग प्रणाली है जिसमें अंकगणितीय आधार 8 का उपयोग किया जाता है, अर्थात, हमारे पास सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए 8 अलग-अलग अंक होंगे। ये होंगे: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7।

हेक्साडेसिमल प्रणाली

पिछली परिभाषाओं के अनुसार, दशमलव संख्या प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है जो संख्या 16 पर आधारित है। इस बिंदु पर हम खुद से पूछेंगे कि हम 16 अलग-अलग संख्याएँ कैसे प्राप्त करेंगे, उदाहरण के लिए यदि 10 दो संख्याओं का संयोजन है। अलग है?

ठीक है, बहुत ही सरल, हमने उन्हें आविष्कार किया, न कि हमें, लेकिन जिन्होंने प्रणाली का आविष्कार किया था। हमारे यहाँ जो संख्याएँ होंगी वे होंगी: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E और F। यह कुल 16 अलग-अलग शब्द बनाता है। यदि आपने कभी किसी रंग का सांख्यिक कोड निर्धारित किया है तो उसमें इस प्रकार का अंकन है, और यही कारण है कि आप देखेंगे कि सफेद, उदाहरण के लिए, मूल्य FFFFFF के रूप में दर्शाया गया है। हम बाद में देखेंगे कि इसका क्या मतलब है।

बाइनरी और दशमलव प्रणाली के बीच रूपांतरण

जैसा कि यह सबसे बुनियादी और समझने में आसान है, हम इन दो नंबरिंग प्रणालियों के बीच परिवर्तित करके शुरू करेंगे।

बाइनरी से दशमलव में संख्या परिवर्तित करें

जैसा कि हमने पहले खंड में देखा था, हम एक दशमलव संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो कि मानों के योग को 10 की शक्ति से गुणा करके स्थिति -1 पर रखता है । अगर हम इसे किसी भी बाइनरी नंबर पर लागू करते हैं, तो इसके आधार के साथ, हमारे पास निम्नलिखित होंगे:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	१ · २ ०

लेकिन निश्चित रूप से, अगर हमने दशमलव प्रणाली के अनुसार प्रक्रिया की, तो हम 0 और 1 के अलावा अन्य मान भी प्राप्त करेंगे, जो ऐसे हैं जिन्हें हम केवल इस संख्या प्रणाली में दर्शा सकते हैं।

लेकिन वास्तव में यह दशमलव प्रणाली में रूपांतरण करने के लिए बहुत उपयोगी होने वाला है। आइए इसके बॉक्स में प्रत्येक मूल्य के परिणाम की गणना करें:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	१ · २ ० = ०

यदि हम प्रत्येक सेल से उत्पन्न इन मानों का योग बनाते हैं, तो हम द्विआधारी मान के दशमलव बराबर मूल्य प्राप्त करेंगे।

100110 का दशमलव मान 38 है

हमारे पास केवल अंकों (0 या 1) को उसके आधार (2) से बढ़ाकर स्थिति -1 तक ले जाना है, यह आंकड़ा में रहता है। हम मान जोड़ते हैं और हमारे पास दशमलव में संख्या होगी।

यदि आप आश्वस्त नहीं हुए हैं, तो हम अब विपरीत प्रक्रिया को अंजाम देंगे:

दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलें

अगर पहले हमने दशमलव में मान निर्धारित करने के लिए संख्याओं का एक गुणन और एक योग किया था, तो अब हमें जो करना है वह दशमलव संख्या को उस प्रणाली के आधार से विभाजित करना है जिसे हम इसे इस मामले में 2 में बदलना चाहते हैं।

हम इस प्रक्रिया को तब तक अंजाम देंगे जब तक कि किसी और विभाजन को अंजाम देना संभव नहीं हो जाता। आइए देखें कि यह कैसे किया जाएगा।

संख्या	38	19	9	4	2	1
विभाजन	19 2 = 19	9 2 = 9	4 2 = 4	2 2 = 2	1 2 = 1	-
आराम	0	1	1	0	0	1

यह क्रमिक विभाजन को न्यूनतम करने का परिणाम है। आपको पहले से पता चल गया होगा कि यह कैसे काम करता है यदि हम अब प्रत्येक विभाजन के अवशेष लेते हैं, और इसकी स्थिति को उल्टा करते हैं, तो हम दशमलव संख्या के द्विआधारी मान को प्राप्त करेंगे। वह है, जहां से हमने विभाजन को पीछे की ओर शुरू किया है:

तो हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं: 100110

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमने अनुभाग की शुरुआत में ठीक उसी संख्या को प्रबंधित किया है।

रूपांतरण आंशिक दशमलव संख्या बाइनरी में

जैसा कि हम अच्छी तरह से जानते हैं, न केवल पूरे दशमलव संख्याएं हैं, बल्कि हम वास्तविक संख्याओं (अंशों) को भी पा सकते हैं। और एक नंबरिंग सिस्टम के रूप में, दशमलव प्रणाली से एक नंबर को बाइनरी सिस्टम में बदलना संभव होना चाहिए। हम देखते हैं कि यह कैसे करना है। उदाहरण के रूप में संख्या 38, 375 लेते हैं

हमें क्या करना चाहिए प्रत्येक भाग को अलग करना है । हम पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक भाग की गणना कैसे करें, इसलिए हम सीधे दशमलव भाग पर जाएंगे।

प्रक्रिया निम्नानुसार होगी: हमें दशमलव भाग को लेना चाहिए और इसे सिस्टम के आधार से गुणा करना चाहिए, अर्थात 2 । गुणा का परिणाम हमें इसे फिर से गुणा करना चाहिए जब तक हमें 0 का आंशिक भाग नहीं मिलता । यदि गुणा करते समय एक पूर्णांक भाग के साथ एक गुटीय संख्या दिखाई देती है, तो हमें केवल अगले गुणन के लिए अंश लेना होगा। आइए इसे बेहतर समझने के लिए उदाहरण देखें।

संख्या	0375	0.75	0.50
गुणन	* 2 = 0.75	* 2 = 1.50	* 2 = 1.00
पूरा हिस्सा	0	1	1

जैसा कि हम देख सकते हैं, हम दशमलव भाग को ले जा रहे हैं और इसे फिर से गुणा कर रहे हैं जब तक हम 1.00 तक नहीं पहुंच जाते हैं जहां परिणाम हमेशा 0 होगा।

बाइनरी में 38, 375 का परिणाम तब 100 110, 011 होगा

लेकिन क्या होता है जब हम इस प्रक्रिया में 1.00 के परिणाम तक कभी नहीं पहुँच सकते हैं? आइए 38, 45 के साथ उदाहरण देखें

संख्या	0.45	0.90	0.80	0.60	0.20	0.40	0.80
गुणन	* 2 = 0.90	* 2 = 1.80	* 2 = 1.60	* 2 = 1.20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1.60
पूरा हिस्सा	0	1	1	1	0	0	1

जैसा कि हम देख सकते हैं , 0.80 से प्रक्रिया आवधिक हो जाती है, अर्थात हम प्रक्रिया को कभी समाप्त नहीं करेंगे क्योंकि 0.8 से 0.4 तक की संख्या हमेशा दिखाई देगी। फिर हमारा परिणाम दशमलव संख्या का एक सन्निकटन होगा, हम जितना आगे जाएंगे, उतनी अधिक सटीकता प्राप्त करेंगे।

तो: 38.45 = 100 110, 01110011001 1001 …

आइए देखें कि रिवर्स प्रक्रिया कैसे करें

रूपांतरण आंशिक द्विआधारी संख्या दशमलव के लिए

इस प्रक्रिया को सामान्य आधार परिवर्तन की तरह ही किया जाएगा, सिवाय इसके कि अल्पविराम से शक्तियां नकारात्मक होंगी । चलो बस पिछले बाइनरी नंबर का पूर्णांक हिस्सा लेते हैं:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0.25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2 -4 = 0.0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0.0078125	…

यदि हम परिणाम प्राप्त करेंगे तो हम प्राप्त करेंगे:

0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0078125 = 0.4453

अगर हम ऑपरेशन जारी रखते हैं तो हम 38.45 के सटीक मूल्य के करीब और करीब पहुंच जाएंगे

ऑक्टल सिस्टम और बाइनरी सिस्टम के बीच रूपांतरण

अब हम यह देखने के लिए आगे बढ़ेंगे कि दो प्रणालियों के बीच रूपांतरण कैसे किया जाए जो दशमलव नहीं हैं, इसके लिए हम अष्टक प्रणाली और द्विआधारी प्रणाली लेंगे और हम पिछले अनुभागों की तरह ही प्रक्रिया करेंगे।

बाइनरी से ऑक्टल में संख्या परिवर्तित करें

दोनों नंबरिंग सिस्टम के बीच रूपांतरण बहुत सरल है क्योंकि ऑक्टल सिस्टम का आधार बाइनरी सिस्टम के समान है लेकिन 3, 2 ³ = 8 की शक्ति के लिए उठाया गया है । तो इसके आधार पर, हम जो करने जा रहे हैं, वह बाइनरी शब्दों को तीन समूहों के समूह में दाएं से बाएं और सीधे एक दशमलव संख्या में परिवर्तित करता है। आइए 100110 नंबर के साथ उदाहरण देखें:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	१ · २ ० = ०	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

हम प्रत्येक तीन अंकों को समूहीकृत करते हैं और दशमलव में रूपांतरण करते हैं। अंतिम परिणाम 100110 = 46 होगा

लेकिन क्या होगा अगर हमारे पास 3 के सही समूह नहीं हैं? उदाहरण के लिए 1001101, हमारे पास 3 के दो समूह हैं और 1 में से एक है, आइए देखें कि कैसे आगे बढ़ना है:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	१ · २ ० = १	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	१ · २ ० = १	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	१ · २ ० = १
1	1	5

प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम समूह को शब्द के दाईं ओर से लेते हैं और जब हम अंत तक पहुंचते हैं तो हम आवश्यक रूप से कई शून्य से भरते हैं। इस मामले में, हमें अंतिम समूह को पूरा करने के लिए दो की आवश्यकता है। तो 1001101 = 115

ऑक्टल नंबर को बाइनरी में बदलें

ठीक है, प्रक्रिया विपरीत के रूप में सरल है, अर्थात, बाइनरी से दशमलव में 3 के समूहों में जा रहा है। चलो इसे 115 नंबर के साथ देखते हैं

मूल्य	1	1	5
विभाजन	0 2 = 0	0	0	0 2 = 0	0	0	2 2 = 2	1 2 = 1	-
आराम	1	0	0	1	0	0	1	0	1
समूह	001	001	101

इस तरह हम देखते हैं कि 115 = 001001101 या वही 115 = 1001101 क्या है

अष्टक प्रणाली और दशमलव प्रणाली के बीच रूपांतरण

अब हम यह देखने जा रहे हैं कि ऑक्टल नंबर सिस्टम से दशमलव और इसके विपरीत जाने की प्रक्रिया को कैसे किया जाए। हम देखेंगे कि प्रक्रिया दशमलव और बाइनरी सिस्टम के मामले में बिल्कुल वैसी ही है, केवल हमें 2 के बजाय 8 को आधार बदलना होगा।

हम एक भिन्नात्मक भाग के साथ शर्तों के साथ सीधे प्रक्रियाओं को पूरा करेंगे।

दशमलव संख्या को अष्टक में बदलें

दशमलव-बाइनरी विधि की प्रक्रिया के बाद हम इसे 238.32 के उदाहरण के साथ आगे बढ़ाएंगे:

पूरा हिस्सा। हम आधार से विभाजित करते हैं, जो 8 है:

संख्या	238	29	3
विभाजन	29 8 = 29	3 8 = 3	-
आराम	6	5	3

दशमलव भाग, हम आधार से गुणा करते हैं, जो 8 है:

संख्या	0.32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
गुणन	* 8 = 2.56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5.76	…
पूरा हिस्सा	2	4	3	6	5	…

प्राप्त परिणाम निम्नानुसार है: 238.32 = 356.24365…

अष्टक संख्या को दशमलव में बदलें

तो ठीक है, चलो विपरीत प्रक्रिया करते हैं। आइए अष्टक संख्या 356, 243 को दशमलव में पास करें:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	६ · २ ० = ६		2 · 8 -1 = 0.25	4 · 8 -2 = 0.0625	3 · 8 -3 = 0.005893

परिणाम है: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

हेक्साडेसिमल प्रणाली और दशमलव प्रणाली के बीच रूपांतरण

हम तब हेक्साडेसिमल नंबरिंग सिस्टम और दशमलव प्रणाली के बीच रूपांतरण प्रक्रिया के साथ समाप्त करते हैं।

दशमलव संख्या को हेक्साडेसिमल में बदलें

दशमलव-बाइनरी और दशमलव-अष्टक विधि की प्रक्रिया के बाद हम इसे 238.32 के उदाहरण के साथ आगे बढ़ाएंगे:

पूरा हिस्सा। हम आधार से विभाजित करते हैं, जो 16 है:

संख्या	238	14
विभाजन	14 16 = 14	-
आराम	ए	ए

दशमलव भाग, हम आधार से गुणा करते हैं, जो 16 है:

संख्या	0.32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
गुणन	* 16 = 5.12	* 16 = 1.92	* 16 = 14.72	* 16 = 11.52	* 16 = 8.32	…
पूरा हिस्सा	5	1	ए	बी	8	…

प्राप्त परिणाम इस प्रकार है: 238.32 = EE, 51EB8…

हेक्साडेसिमल से दशमलव में संख्या परिवर्तित करें

तो ठीक है, चलो विपरीत प्रक्रिया करते हैं। आइए हेक्साडेसिमल संख्या EE, 51E को दशमलव में पास करें:

ए	ए	,	5	1	ए
E16 1 = 224	ई · १६ ० = १४		5 · 16 -1 = 0.3125	1 · 16 -2 = 0.003906	ई 16 -3 = 0.00341

परिणाम है: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

खैर ये आधार नंबर को एक नंबर प्रणाली से दूसरे में बदलने के मुख्य तरीके हैं। सिस्टम किसी भी आधार और दशमलव प्रणाली में एक प्रणाली पर लागू होता है, हालांकि ये कंप्यूटिंग के क्षेत्र में सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं।

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